概要

積層鉄心が含まれるモデルを磁場解析する場合、積層鉄心は電磁鋼板が絶縁層を介して積層されるため、その微細な構造をそのまま要素に分割して解析することは非常に計算負荷が高く、現実的には困難です。その積層鉄心を渦電流が流れない鉄心として扱い、導電率をゼロとして解析することがあります。磁場の積層面内方向（積層と垂直な方向）成分に起因する渦電流は小さく、導電率をゼロとして扱うことは問題ないと思われます。しかし、磁場の積層方向（積層と平行な方向）成分がある場合、積層鉄心表面に磁束密度が集中して大きな渦電流損が発生することが知られています。
既に積層鉄心のモデリング手法として、EMSolutionは均質化法（PACKING）の機能を用意しており、最近その手法を公開しました（1）。均質化法は、ミクロでは鋼板とその絶縁層から構成された不均質な鉄心を、マクロでは等価的な材料として扱う手法であり、当初は非線形静磁場解析に適用されました。最近では、低周波渦電流解析にも応用され、実験とよく一致することも示されました（2）。 従来、均質化法を用いた解析で出力される磁束密度は均質化磁束密度であり、積層鋼板（鉄部）の磁束密度より多少小さくなります。例えば鉄損計算のように、 均質化磁束密度ではなく鉄部の磁束密度を使うことで精度を高めることができます。

解説

均質化法による均質化磁場強度$H$、磁束密度$B$の関係は、等価磁気抵抗率$N$を用いて以下のように表せます。

$$ \begin{eqnarray} H_\parallel = N_\parallel B_\parallel\\ H_\perp = N_\perp B_\perp\\ \end{eqnarray}　　　　　(1)$$

ここで、添え字の||、⊥は、それぞれ積層面内方向と積層方向を表します。等価磁気抵抗率は、鉄部の磁気抵抗率$\nu_s$と空気ギャップ部の磁気抵抗率$\nu_0$により以下の式で表せます。

$$ \begin{eqnarray} \frac{1}{N_\parallel} \equiv \frac{\alpha}{\nu_s (b_s)} + \frac{1 – \alpha}{\nu_0}\\ N_\perp \equiv \alpha \nu_s ( b_s ) + ( 1 – \alpha ) \nu_0\\ \end{eqnarray}　　　　　(2)$$

ここで、$α$は占積率を表します。鉄部の磁束密度$b_s$は均質化磁束密度を用いて表すと、

$$ \begin{eqnarray} b_{s \parallel} = \frac{N_\parallel}{\nu_s (b_s)} B_\parallel\\ b{s \perp} = B_\perp\\ \end{eqnarray}　　　　　(3)$$

となり、面内方向の均質化磁束密度よりもおよそ1/$α$倍、鉄部の磁束密度の方が大きくなります。均質化法により、積層鉄心を異方性を持つ均質な材料と近似します。
渦電流を含む解析の場合、等価導電率$Σ$は以下の式のようになります。

$$\Sigma_\perp \equiv \alpha \sigma_s \Sigma_\perp \equiv 0 　　(4)$$

ここで、$σ_s$は鉄部の導電率を表します。これにより面内方向の渦電流のみを考慮することになります。

これは、鋼板での積層方向の渦電流分布は一様で、磁場が一定とみなせる場合、すなわち低周波領域で鋼板における表皮効果が十分小さい場合に適用可能です。 例として、Fig.1に示す"COIL（外部電流磁場ソース）を用いた静磁場解析"などで使用している「電気学会三次元静磁界検証モデル」を用いて、渦電流を含む非線形過渡解析を行います。積層鉄心がx軸方向に占積率96%で積層されているとします。このとき、積層鉄心表面、および角部には磁束密度が集中しますので、その部分のメッシュは多少粗いですが、鋼板厚さ程度に分割しています。
比較のため鉄心を、（a）導電率$σ=σ_s$としたものと、積層鉄心の近似法の例として、（b）導電率$σ= 0$として近似した方法、（c）導電率$σ||=σ_s$ 、$σ⊥=0$とした方法、（d）均質化法と（4）式の等価導電率$Σ$を組み合わせた方法の4つを比較します。

Fig.2に、解析で得られた磁束密度ベクトル分布を示します。これらより、このモデルのように少なからず磁場が積層方向成分を持っている場合、表皮効果により表面に磁場が集中するため、積層鉄心を$σ= 0$として近似することは妥当でないことがわかります。Fig.3に、FEM解析による渦電流分布を示します。ここで、（b）は$σ= 0$のためFEM解析による渦電流が求まりませんので、（a）、（c）、（d）の結果を示します。（a）の渦電流分布は、y方向はメッシュの粗さによる影響が出ておりますが、全体としては鉄心表面を回る渦電流が発生しています。（c）、（d）では、積層方向の導電率がゼロのため、積層面内（yz面）をループする渦電流が発生しています。（c）と（d）を比べると、（d）の均質化法の方が鉄心表面に渦電流が集中しています。
また、"ポスト処理による鉄損算出"の機能を用いて鉄損出力をした結果をTable Iに示します。ここで、算出法①は磁束密度の絶対値の最大値を用いた方法、算出法②は磁束密度波形から直接算出する方法を表します。（d）の均質化法による結果は、（3）式による積層鉄心鉄部の磁束密度を使用して算出しています。（a）は積層鉄心として近似しておらず、ポスト処理による鉄損は求めることができないため、FEM解析結果の渦電流損のみとなります。（b）では、$σ= 0$としているため、本来あるべきFEMによる積層面内方向の渦電流損が考慮されておりません。そのため、他の結果と一概に比較することはできないことをご承知おきください。（a）と比べると、（c）、（d）では損失が大きく削減されています。（c）と（d）を比べると、（d）の均質化法で考慮した等価的な磁気抵抗率により、磁束密度の最大値に差が現れ、積層方向の渦電流損、ヒステリシス損にもそれが現れています。

Table I.　鉄損

	（a）$σ=σ_s$	（b）$σ= 0$		（c）$σ||=σ_s$ , $σ⊥=0$		（d）均質化法
		算出法①	算出法②	算出法①	算出法②	算出法①	算出法②
面内方法渦電流損（W）	113.98	×	×	1.00	1.00	0.96	0.96
積層方法渦電流損（W）	－	0.12	0.12	0.33	0.36	0.40	0.48
ヒステリシス損（W）	－	0.49	0.49	1.34	1.35	1.66	1.66
全損（W）	113.98	0.60	0.61	2.67	2.71	3.02	3.10

＊　（b）の×は、本来あるべき面内渦電流損は導電率がゼロのためFEMからは算出できない。そのため過小評価してしまっている。

参考文献

Hiroyuki Kaimori, Akihisa Kameari, and Koji Fujiwara, "FEM Computation of Magnetic Field and Iron Loss in Laminated Iron Core Using Homogenization Method" IEEE Transactions on Magnetics 43(4):1405 – 1408, May (2007)