収束条件と解析精度

必要な精度を得るためにICCG法やニュートン・ラフソン法の収束条件をどのようにするかは大きな課題です。おそらく十分な精度を得るために、収束条件を厳しくする例が多いかと思いますが、収束条件を厳しくしますと、計算時間がかかることになります。問題により、あるいは求める物理量により必用な収束条件は異なってくると思われ、一概に指針を与えることは困難ですが、ここでは、TEAM Workshop Problem 20を例として、考察して見たいとおもいます。本問題につきましては、こちらで、EMSolutionのベンチマーク問題として述べておりますので、ご参照ください。

Fig.1　TEAM Workshop Problem 20

まず、繰り返しごとの非線形計算時の残差と磁場の変化の最大値（δB_max）の関係を調べます（Fig.2）計算は、コイル電流4.5kAの場合です。これから見ますと、残差とδB_maxが比例するとはいえません。むしろδB_maxの収束が遅くなっていることが分かります。残差が10^-3程度になっていても、磁束密度の繰り返し毎の変化が0.1T近く変動しています。このことから見ますと、従来残差で収束条件を与えていましたが、適当でない場合がある可能性があります。このことに鑑み、δB_maxを収束条件とすることができるよう、EMSolutionを変更しました。

Fig.2 　残差とδB_max

δB_maxを収束条件として計算した場合の電磁力と鉄心平均磁束密度のδB_maxに対する依存性をTable 1に示します。 δB_max=0.01Tで有効桁5桁の範囲で収束しています。また、0.2T程度でも実用的には十分な精度が得られているものと考えられます。磁場の変動幅が0.2Tでも十分というのは予想外でしたが、変動しているのが局所的なためと考えられます。δB_max=0.1Tの磁束密度分布から、10^-6Ｔの場合のものとの差分を示しますと、Fig.3,4のようになります。この誤差は、センターポール上下部に集中しています。吸引力は鉄心周りの空気部の磁場分布のみが関わっており、鉄心内部の誤差の影響を受けにくいものと思われます。また、平均磁束密度はセンターポールと脚鉄のそれぞれの中心での値を計算しており、誤差の大きいセンターポール上下部と離れているため、これもまた影響が少なかったものと思われます。

Table1.　電磁力と鉄心平均磁束密度

Fig.3　δB_max=0.1Tでの磁束密度誤差分（センターポール上部）

Fig.4　δB_max=0.1Tでの磁束密度誤差分（センターポール下部）

本計算で、δB_max=0.2Tとしますと、計算時間は10^-6Ｔとしたときの約半分となっています。必要精度に見合った適当な収束条件を与えることにより、計算時間の節減が図れることが予想されます。ただ、始めに述べましたように収束条件の指針を一般的に与えることは難しいと思います。類似の解析から経験的に見出すのが現実的かと考えます。
本件等に関連した、EMSolution inputの変更点は、非線形収束条件の中のCHECK_Bです。本入力は、従来この値を入力する非線形収束繰り返し毎に、δB_maxと、この値(T)以上変化する要素数をoutputに出力してきました。このたび、CHECK_B に負値を入力するとその値(T)を収束条件とするようプログラムを変更しました。ICCG_CONV_RATIOは０を入力しますと、ICCG_CONV/NON_LINER_CONVの値がとられます。本入力は、非線形収束計算毎のICCG収束残差条件/ICCG初期残差値を表します。CHECK_Bに負値を入力した場合、ICCG_CONVおよびNON_LINER_CONV自体の値は意味を持ちませんのでご注意ください。